1. Sistem persamaan linier dan matrix
Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 − 3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
a. Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi dengan 3
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
b. Gauss Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1
c. Matrix dan operasinya
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A kadalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
d. Invers matrix (praktek menggunakan Matlab)
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Dengan Rumus =
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) − 1 = B − 1A − 1
2. Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
a. fungsi determinan
· Suatu permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3, …, n} adalah penyusunan bilangan-bilangan tersebut dengan urutan tanpa pengulangan
Contoh:
Permutasi dari {1, 2, 3} adalah
(1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)
(1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)
Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2, …, n} akan mempunyai n! permutasi.
· Suatu permutasi (j1, j2, …, jn) dikatakan mempunyai 1 inversi jika terdapat satu bilangan yang lebih besar mendahului suatu bilangan yang lebih kecil.
Contoh:
(6, 1, 3, 4, 5, 2)
• 6 mendahului 1, 3, 4, 5, 2 = 5 inversi
• 3 mendahului 2 = 1 inversi
• 4 mendahului 2 = 1 inversi
• 5 mendahului 2 = 1 inversi
Jadi terdapat 8 inversi dalam permutasi di atas (1, 2, 3, 4) : tidak terdapat inversi
b. evaluasi determinan dengan reduksi baris
Teorema 1
Misalkan A adalah matriks bujursangkar
Jika A memiliki satu baris nol atau kolom nol,maka
• det(A) = 0
• det(A) = det (AT)
Teorema 2
Jika A adalah matriks segitiga n´n (segitiga atas, segitiga
bawah atau diagonal), maka det(A) adalah perkalian entri-
entri pada diagonal utamanya
det(A) = a11a22...ann
Teorema 3
Misalkan A adalah matriks bujursangkar
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian suatu baris atau kolom dengan skalar k ≠ 0 maka det(B) = k det(A)
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris atau kolom dari A maka det(B) = –det(A)
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris ditambahkan dengan kelipatan baris lain atau suatu kolom ditambahkan dengan kelipatan kolom lain dari A, maka det(B) = det(A).
Teorema 4
Misal E adalah matriks elementer berukuran n ´ n,
• Jika E dihasilkan dari suatu baris In dikali k, maka
det(E) = k
• Jika E dihasilkan dari pertukaran dua baris pada In, maka det(E) = -1
• Jika E dihasilkan dari suatu baris ditambah kelipatan baris lain di In, maka det(E) = 1
Teorema 5
• Jika A adalah matriks bujursangkar dimana terdapat dua
• baris atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka
• det(A) = 0
c. kofaktor
det(A) = a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 - a12a21a33 - a11a23a32 - a13a22a31
det(A) = a11 (a22a33 - a23a32) - a12 (a21a33 - a23a31) + a13 (a21a32 - a22a31)
= a11M11 – a12M12 + a13M13
= a11c11 + a12c12 + a13c13
Formula ini menyatakan determinan matriks A ekspansi kofaktor berdasarkan baris pertama dari A.
Jika A adalah matriks n´n, Cij kofaktor dari aij, makadisebut matriks kofaktor dari A.
Transposenya disebut matriks Adjoin dari A, ditulis Adj(A)
d. Ekspansi Kofaktor dan Aturan Cramer
Jika A matriks bujursangkar, maka minor dari entri aij, dinotasikan dengan Mij adalah determinan dari submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Kofaktor dari entri aij adalah bilangan dinotasikan dengan Cij.
3. 4.Vektor pada ruang 2 dan ruang 3
a. Pengenalan vektor,
b. Vektor normal,
c. Vektor aritmatik,
d. Dot product,
e. Proyeksi,
f. Cross product,
g. Garis dan bidang pada ruang 3 (praktek menggunakan Matlab).
5. Ruang vektor Euclidean
a. Ruang neuclidean,
b. Transformasi linier dari Rn ke Rm.
6. Ruang vektor
a. Ruang vektor real,
b. Sub ruang vektor,
c. Bebas linier,
d. Basis dan dimensi,
e. Ruang baris,
f. Ruang kolom dan ruang null,
g. Rank dan nullity (praktek menggunakan Matlab).
7. Ruang inner product
a. Inner product,
b. Sudut dan Ortogonaliti pada inner product,
c. Basis Orthonormal,
d. Gram Schmidt.
8. Eigenvalue dan eigenvektor
a. Pengenalan eigenvalue dan eigenvektor,
b. Diagonalization,
c. Ortogonal diagonalization (praktek menggunakan Matlab).
9. Transformasi linier lanjut
a. Pengenalan transformasi linier lanjut,
b. Kernel dan range,
c. Invers transformasi linier,
d. Similarity (praktek menggunakan Matlab).
10. Aplikasi aljabar linier
a. Program linier geometric,
b. Interpolasi kubik spline,
c. Markov chains,
d. Teori graf,
e. Grafika computer,
f. Kriptografi,
g. Genetik.
Nah..Itu tadi ulasan tentang aljabar linier, dengan diberikannya mata kuliah ini diharapkan :
1. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah sistem persamaan linier menggunakan komputasi matriks
2. Mahasiswa mampu menjelaskan ruang vektor dan aplikasinya dalam transformasi linier
3. Mahasiswa mampu mengaplikasikan aljabar linier dalam beberapa contoh kasus.
Akhirnya selesai juga nih posting... Semoga gak boring ya mantengin artikel ini.. ^.^
Vivat TC!! Vivat ITS!! ^.^
Sumber :
No comments:
Post a Comment