Kalkulus I

Akhirnya demi mengejar waktu lebaran yang santai   saya berusaha menyelesaikan posting tentang mata kuliah terakhir di semester 1 ini.. Kali ini kita bakal ngebahas Kalkulus 1.. Untuk bocoran sedikit sih, mata kuliah ini kerap dijadikan momok bagi para mahasiswa, entah mengapa mungkin karena mata kuliah ini yang membuat IP menjadi kurang sempurna.. Tapi sebenarnya sugesti yang menjadikannya begitu, apabila kita selalu berpikir positif, insyaallah hasil yang kita dapatkan akan memuaskan pula..

OK..Kita mulai aja deh pembahasannya.. Cekidut..

Apa sih kalkulus itu? Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.



Pokok bahasan yang akan dibahas di semester 1 ini antara lain :

• Koordinat Grafik dan Garis
• Limits dan Kontinuitas
• Diferensial
• Turunan
• Aplikasi Turunan
• Integral

a. Koordinat Grafik dan Garis
Pada pokok bahasan ini materi yang diajarkan meliputi :
1. Bilangan real dan garis bilangan
2. Nilai mutlak petidaksamaan
3. Garis
4. Lingkaran
5. Parabola
6. Fungsi dan grafik
7. Identifikasi fungsi

b. Limit dan Kontinuitas

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.

Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

c. Turunan

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.

Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

 ,

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Perhatikan bahwa ekspresi  pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.

Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial

d. Aplikasi Turunan

Pada pokok bahasan ini akan dibahas materi-materi sebagai berikut :

1. Laju-laju yang berkaitan

2. Penentuan interval naik

3. Turun serta kecekungan fungsi

4. Nilai maksimum/minimum fungsi

5. Teorema nilai rata-rata

e. Integral

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

Nah..Selesai juga nih preview semester 1, udah 6 mata kuliah kita bahas bareng-bareng,, semoga preview ini tidak hanya menjadi tulisan semata, namun bisa bermanfaat untuk kita semua... Tetap semangat...  


Vivat TC!! Vivat ITS!! ^.^

Sumber :
http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus
Katalog Program Studi Informatika ITS 2010